Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương,”n giai thừa”, ký hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên. n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 50408 403209 36288010 362880015 130767436800020 243290200817664000025 50 70 100 171 450 1000 3249 10000 25206 100000 205023 1000000 10 [[googol|]] 10 10Các giá trị trên được tính bởi OEIS. n! = 1.2.3….n VD: 4! = 1.2.3.4 = 24 8! = 1.2.3…..7.8 = 40 320
Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp – xác suất
Mục lục
1 Định nghĩa đệ quy
2 Một số tính chất của giai thừa
3 Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa
4 Mở rộng cho tập số rộng hơn
4.1 Công thức Gamma
4.2 Giai thừa với số thực
4.3 Giai thừa với số phức
5 Các khái niệm tương tự
5.1 Giai thừa nguyên tố (primorial)
5.2 Giai thừa kép
5.3 Giai thừa bội
5.4 Siêu giai thừa(superfactorial)
5.5 Giai thừa trên
6 Tham khảo
7 Liên kết ngoài
Định nghĩa đệ quySửa đổi
Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau
0! = 1
(n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0
Một số tính chất của giai thừaSửa đổi
Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (abc) có cùng cơ số và mũ.
log a ( n ! ) = x = 1 n log a ( x ) . {displaystyle log _{a}{(n!)}=sum _{x=1}^{n}log _{a}(x).}
1 n log x d x x = 1 n log x 0 n log ( x + 1 ) d x {displaystyle int _{1}^{n}log x,dxleq sum _{x=1}^{n}log xleq int _{0}^{n}log(x+1),dx}
n log ( n e ) + 1 log n ! ( n + 1 ) log ( n + 1 e ) + 1. {displaystyle nlog left({frac {n}{e}}right)+1leq log n!leq (n+1)log left({frac {n+1}{e}}right)+1.}
e ( n e ) n n ! e ( n + 1 e ) n + 1 . {displaystyle eleft({frac {n}{e}}right)^{n}leq n!leq eleft({frac {n+1}{e}}right)^{n+1}.}
n ! 2 π n ( n e ) n . {displaystyle n!approx {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}.}
(Công thức Stirling).
n ! > 2 π n ( n e ) n . {displaystyle n!>{sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}.} sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n.” loading=”lazy”>
ln ( n ! ) n ln ( n ) n + ln ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + ln ( π ) 2 . {displaystyle ln(n!)approx nln(n)-n+{frac {ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{frac {ln(pi )}{2}}.}
Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.
Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừaSửa đổi
Công thức tính số tổ hợp: C n k = n ! k ! ( n k ) ! ( 0 < k n ) {displaystyle C_{n}^{k}={frac {n!}{k!(n-k)!}}(0
Công thức tính số chỉnh hợp: A n k = n ! ( n k ) ! ( 0 < k n ) {displaystyle A_{n}^{k}={frac {n!}{(n-k)!}}(0
Mở rộng cho tập số rộng hơnSửa đổi
Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.
Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?
Công thức GammaSửa đổi
Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau: Γ ( z ) = 0 t z 1 e t d t {displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }t^{z-1}e^{-t},{rm {d}}t}
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được: Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {displaystyle Gamma (z+1)=z,Gamma (z),.}
Khi đó ta có: z ! = Γ ( z + 1 ) . {displaystyle z!=Gamma (z+1).,}
Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành: Γ ( z ) = lim n n z n ! k = 0 n ( n + k ) {displaystyle Gamma (z) =lim _{nto infty }{frac {n^{z}n!}{prod _{k=0}^{n}(n+k)}}}
Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là: Γ ( z ) Γ ( 1 z ) = π sin ( π z ) {displaystyle Gamma (z) Gamma (1-z) ={frac {pi }{sin({pi }z)}}}
Thay z = 1/2 ta thu được: Γ ( 1 2 ) = π {displaystyle Gamma left({frac {1}{2}}right) ={sqrt {pi }}}
Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là: Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) Γ ( z + m 1 m ) = ( 2 π ) ( m 1 ) / 2 m 1 / 2 m z Γ ( m z ) . {displaystyle Gamma (z);Gamma left(z+{frac {1}{m}}right);Gamma left(z+{frac {2}{m}}right)cdots Gamma left(z+{frac {m-1}{m}}right)=(2pi )^{(m-1)/2};m^{1/2-mz};Gamma (mz),.}
Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh: Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n 1 ) ! ! 2 n π = π [ ( n 1 2 n ) n ! ] {displaystyle Gamma left({frac {1}{2}}+nright)={(2n)! over 4^{n}n!}{sqrt {pi }}={frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},{sqrt {pi }}={sqrt {pi }}cdot left[{n-{frac {1}{2}} choose n}n!right]}
Γ ( 1 2 n ) = ( 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( 2 ) n ( 2 n 1 ) ! ! π = π / [ ( 1 2 n ) n ! ] {displaystyle Gamma left({frac {1}{2}}-nright)={(-4)^{n}n! over (2n)!}{sqrt {pi }}={frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}},{sqrt {pi }}={sqrt {pi }}/left[{-{frac {1}{2}} choose n}n!right]}
Giai thừa với số thựcSửa đổi
Giai thừa với số thực.
Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau: z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) . {displaystyle z!=Pi (z)=Gamma (z+1),.}
Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.
Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent: Γ ( z ) = k = 0 Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k 1 , {displaystyle Gamma (z)=sum _{k=0}^{infty }{frac {Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1},,}
với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau: n {displaystyle n}
là hằng số Euler – Mascheroni còn ζ {displaystyle zeta }
là hàm zeta Riemann.
.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
Các khái niệm tương tựSửa đổi
Giai thừa nguyên tố (primorial)Sửa đổi
Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).
Giai thừa képSửa đổi
Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:
Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2. n ! ! = { 1 , khi n <= 1 ; n ( n 2 ) ! ! khi n 2. {displaystyle n!!=left{{begin{matrix}1,qquad qquad &&{mbox{khi }}n<=1;\n(n-2)!!&&{mbox{khi }}ngeq 2.qquad qquad end{matrix}}right.}
Dãy các giai thừa kép đầu tiên là: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n!! 1 1 2 3 8 15 48 105 384 945 3840
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau: ( n 2 ) ! ! = n ! ! n {displaystyle (n-2)!!={frac {n!!}{n}}}
Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,…là 1, -1, 1/3, -1/15…
Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép: n ! = n ! ! ( n 1 ) ! ! {displaystyle n!=n!!(n-1)!!,}
( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {displaystyle (2n)!!=2^{n}n!,}
( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! over (2n)!!}={(2n+1)! over 2^{n}n!}}
Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.
Giai thừa bộiSửa đổi
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)….
Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau n ! ( k ) = { 1 , khi 0 n < k ; n ( n k ) ! ( k ) , khi n k . {displaystyle n!^{(k)}=left{{begin{matrix}1,qquad qquad &&{mbox{khi }}0leq n
Siêu giai thừa(superfactorial)Sửa đổi
Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 {displaystyle mathrm {sf} (4)=1!times 2!times 3!times 4!=288,}
Tổng quát s f ( n ) = k = 1 n k ! = k = 1 n k n k + 1 = 1 n 2 n 1 3 n 2 ( n 1 ) 2 n 1 . {displaystyle mathrm {sf} (n)=prod _{k=1}^{n}k!=prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}cdot 2^{n-1}cdot 3^{n-2}cdots (n-1)^{2}cdot n^{1}.}
Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,… (dãy số A000178 trong bảng OEIS)
Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0): 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,…
và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m 1), nghĩa là m f ( n , m ) = m f ( n 1 , m ) m f ( n , m 1 ) = k = 1 n k ( n k + m 1 n k ) {displaystyle mathrm {mf} (n,m)=mathrm {mf} (n-1,m)mathrm {mf} (n,m-1)=prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 choose n-k}}
trong đó m f ( n , 0 ) = n {displaystyle mathrm {mf} (n,0)=n}
for n > 0 {displaystyle n>0}
0″ loading=”lazy”>
and m f ( 0 , m ) = 1 {displaystyle mathrm {mf} (0,m)=1}
.
Giai thừa trênSửa đổi x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + n 1 ) = ( x + n 1 ) ! ( x 1 ) ! {displaystyle x^{overline {n}}=x(x+1)(x+2)cdots (x+n-1)={frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}
Tham khảoSửa đổi
Liên kết ngoàiSửa đổi
Factorial (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
GIAI THỪA của một số tự nhiên n tại Từ điển bách khoa Việt Nam
Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), Factorial, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN978-1-55608-010-4
